。 大家 都 知道 的 阿基米德 （ Archimedes ） 就 是 死 在 羅馬 攻破 敘拉古 （ Syracuse ） 之 日 。 阿基米德 是 希臘 晚期 的 數學 大師 ， 他 以 開創性 的 新 思維 打破 了 前 代 數學 累積 的 瓶頸 ， 使得 數學 獲得 新生 ， 而且 將 數學 應用到 當時 所 知 的 所有 工程 與 科學 領域 。 例如 ， 所謂 「 古希臘 三 大 難題 」 其實 是 三 道 無解 的 數學 命題 ， 而 它們 之所以 無解 ， 是 因為 古人 以 「 尺規 作圖 」 作繭自縛 ； 阿基米德 只是 稍稍 地 違規 一下 ， 就 解 了 三 等分角 和 倍立方 那 兩 題 。 又 例如 ， 既然 正多面體 只 有 五 種 ， 後人 都 沒 得 玩 了 ； 於是 阿基米德 創造 了 半 正規 多面體 ， 打開 了 另 一 扇 大門 __UNDEF__ [4] 。 阿基米德 也 以 圓 的 面積 公式 （ 以 圓周 為 底 半徑 為 高 的 三角形 面積 ） 和 圓周率 的 估計 ， 間接 解決 了 「 三 大 難題 」 的 方圓 問題 。 阿基米德 的 方法 也 可以 視為 「 割圓術 」 ， 但是 他 同時 考慮 圓 的 內接 與 外 切 正多邊形 ， 所以 能夠 估計 圓周率 的 下界 與 上界 。 他 同樣 獲得 　　　 之 估計 ， 但是 他 知道 　 是 上界 ， 而 　　 是 下 界 __UNDEF__ [5] 。 劉徽 在 阿基米德 之後 五百 年 ， 怎麼 會 想到 幾乎 一樣 的 割圓術 呢 ？ 只 能 說 「 英雄 所 見 略 同 」 了 。 而 阿基米德 自認 的 生涯 代表作 是 ： 球 的 體積 為 其 外 切 圓柱體 的 三分之二 。 丈量 土地 所 需 的 數學 ， 可能 在 畢達哥拉斯 之前 就 已經 備足 了 。 後來 很 長 的 一 段 時間 ， 全 世界 古 文明 的 主要 挑戰 ， 在於 天體 的 測量 ， 使得 天文學 簡直 就 是 數學 的 同義詞 。 天文 知識 直接 應用到 日月蝕 的 預測 __UNDEF__ 、 曆法 與 節氣 的 吻合 、 以及 星辰 占卜 的 推論 ， 它們 表現出 「 君權 神授 」 的 必要性 ， 所以 特別 受到 君王 帝后 的 支持 。 生活 在 羅馬 帝國 埃及 行政區 的 托勒密 （ Claudius Ptolemy ） 用 希臘文 寫 的 《 天文學 大成 》 （ Almagest ） 可以 視為 希臘 數學 的 最後 一 座 里程碑 。 自從 它 在 大約 西元 150年 完成 之後 ， 基本 上 成為 西方 的 天文 聖經 ， 直到 一千三百 年 後 才 開始 受到 哥白尼 理論 的 挑戰 。 希臘 藉以 「 量 天 」 的 數學 基礎 ， 是 在 單位 圓 上 計算 圓心角 θ 所 對 的 弦 長 crdθ ； 這 顯然 也 受到 割圓術 傳統 的 影響 。 托勒密 算出 crdθ 的 估計值 ， 史 稱 托勒密 弦表 。 這 張 數值表 的 解析度 是 平角 的 360 分 之 一 ， 也 就 是 如今 所謂 的 半 度 ； 而 其 精確度 是 六十 進制 的 一 秒 ， 也 就 是 半徑 的 3600 分 之 一 。 弦長 對 半徑 的 比值 crdθ 可以 導出 正弦比 sinθ ， 但是 兩 者 不 該 混為一談 。 阿基米德 郵票 是 西班牙 郵政局 發行 的 ， Espa ña 是 西班牙文 的 「 西班牙 」 。 西班牙語言 沒有 連續 兩 個 爆破 子音 的 發聲 ， 英語 的 SP 和 ST 發音 ， 對應到 西班牙語 就 會 在 前面 補 一 個 母音 。 例如 英語 的 special 就 是 西班牙語 的 especial 。 托勒密 郵票 是 蒲隆地 （ Burundi ） 發行 的 ， 它 在 非洲 地圖 上 小 得 像 綠豆 一樣 。 二戰 以後 ， 第三世界 難以 計數 的 平民 百姓 因為 「 民主 自由 」 這 個 概念 而 喪命 ； 蒲隆地 第一 次 民主 選舉 的 後果 ， 就 是 連續 打 了 十二 年 的 內戰 ， 二十萬 人 死 於 戰火 ， 另外 二十萬 人 淪為 難民 。 阿拉伯 繼往開來 __UNDEF__ 羅馬 帝國 擅於 造橋 鋪路 、 築城 建 塔 ， 留下 壯觀 的 工程 文明 ， 但是 在 特別 需要 想像力 的 文化 創作 方面 ， 他們 就 比較 少 受到 恭維 。 這 可能 是 因為 ， 相對於 希臘 是 個 文化 的 概念 ， 羅馬 則 是 個 政治 的 概念 ； 在 帝國 或 共和國 的 架構 之下 ， 羅馬 統治 著 許多 種 語言 與 宗教 的 人民 ， 而 希臘 語文 和 哲學 ， 仍然 在 羅馬 的 政治 架構 下 發展 著 。 所以 ， 帝國 的 功勳 歸 羅馬 ， 但是 文化 的 精進 還是 給 了 希 臘 。 例如 托勒密 明明 就 是 羅馬 公民 ， 他 出生 於 創造 帝國 最 大 疆域 的 圖雷真 （ Trajan ） 初年 ， 一 輩子 活 在 幸福 快樂 的 羅馬 五 賢君 盛世 期間 ， 可是 因為 他 用 希臘文 寫作 ， 所以 我們 還是 把 他 當作 希臘人 ， 把 他 的 成就 歸屬 希臘 。 托勒密 死 後 不久 ， 羅馬 最後 一 位 賢君 「 哲學家 皇帝 」 奧里略 （ Aurelius ） 也 在 西元 180年 駕崩 了 。 電影 《 神鬼 戰士 》 裡 被 兒子 殺害 的 老皇帝 ， 就 是 奧里略 ； 雖然 電影 的 弒 父 情節 是 想像 的 ， 但是 那 位 二十 歲 即位 的 年輕 皇帝 確實 變成 了 暴君 ， 羅馬 從此 敗壞 ， 甚至 鬧出 禁衛軍 把 皇帝 「 職缺 」 拿出來 拍賣 的 笑話 。 崩壞 的 帝國 總會 導致 社會 動盪 ， 而 凋敝 的 民生 當然 阻礙 文化 和 文明 的 發展 。 一神論 的 天主教 在 動盪 的 社會 中 逐漸 扎根 ， 在 第四 世紀 結束 前 ， 也 就是 羅馬 帝國 正式 分裂成 東 、 西 兩 塊 之前 ， 基督教 成為 羅馬帝國 的 國教 ， 連 羅馬人 自己 的 多 神 宗教 都 被 摒 為 異端 ， 古希臘 的 哲學 和 數學 （ 它們 原先 也 是 宗教 ） 當然 更 是 異端 。 羅馬 治下 的 希臘 思想 從 式微 走向 凋零 ， 除了 工程 上 實用 的 數學 以外 ， 其他 的 全 都 在 歐洲 失傳 了 。 東羅馬帝國 雖然 座落 在 希臘 舊地 ， 後來 還 將 希臘語 定為 國語 ， 但是 基督教 （ 東正教 ） 與 羅馬 風格 仍然 是 文化 的 主流 ， 更何況 他們 和 波斯 的 薩珊 帝國 （ Sassanid ） 在 歐亞 邊界 連年 不斷 的 拉鋸戰 ， 都 不利 於 知識 與 文化 的 發展 。 僵持不下 兩百 年 的 羅馬 與 波斯 之 爭 ， 在 大約 西元 640年 被 阿拉伯人 迅速 畫下 句點 。 新興 的 伊斯蘭教 凝聚 了 阿拉伯 部落 的 力量 ， 在 三十 年 內 鯨吞 了 波斯 帝國 以及 東 羅馬 的 埃及 行政區 ， 建立 起 阿拉伯 帝國 （ 大食 ） 。 阿拉伯 為 中亞 和 北非 維持 了 六百 年 的 大致 穩定 ， 讓 草原 上 多樣 的 民族 和平 共處 ， 締造 了 超越 同 時期 歐洲 的 文明 。 雖然 伊斯蘭教 和 基督教 都 是 一神教 ， 但是 阿拉伯 統治 者 樂於 支持 數學 和 科學 知識 的 譯述 ， 他們 頗為 尊重 學者 ， 也 鼓勵 詩歌 文學 與 建築 藝術 的 發展 。 因為 征戰 與 經商 的 接觸 ， 阿拉伯 學者 有 機會 揉合 希臘 、 波斯 、 印度 的 風格 與 知識 ， 發展出 阿拉伯 文明 的 數學 （ 與 天文學 ） 。 除了 商務 與 貿易 提高 了 對於 計算 的 需求 以外 ， 伊斯蘭 教義 對於 遺產 分配 的 精細 規定 __UNDEF__ [6] ， 也 促進 了 阿拉伯 從 算術 到 代數 的 發展 。 右邊 這 枚 （ 前 ） 蘇聯 1983年 發行 的 郵票 ， 紀念 一 位 阿拉伯 學者 花剌子密 的 一千二百 歲 誕辰 。 花剌子密 是 波斯人 ， 大半 輩子 在 巴格達 的 智慧宮 （ House __UNDEF__ of __UNDEF__ Wisdom ） 工作 ， __UNDEF__ 那裡 是 阿拉伯 帝國 的 學術 中心 。 他 的 全名 是 「 來自 花剌子模 的 摩西 之 子 穆罕默德 」 （ Mu ḥammad ibn Mūsā al-Khw ārizmī ） ， 而 他 一 個 人 衍生 了 兩 個 英文字 ： 演算法 algorithm 來自 他 的 名 ， 代數 algebra 來自 他 的 書 。 他 將 印度 梵文 數字 改成 阿拉伯 數字 ， 並 發展 了 搭配 這 套 十進位 記數 系統 的 加減 乘除 算法 。 傳進 歐洲 之後 ， 這 套 算法 就 稱作 阿拉伯文 Al-Khw ārizm ī 對應 的 拉丁文 algorithm 。 至於 algebra 則 是 阿拉伯文 al-jabr 的 拉丁 音譯 ， 出於 花剌子密 討論 一 次 與 二 次 方程 的 書 ， 書名 即 指出 其 解法 的 兩 大 基本 操作 ： al-jabr 和 al-muqābala ， 前者 是 「 恢復 」 的 意思 ， 意指 移項 運算 ， 而 後者 是 「 平衡 」 的 意思 ， 意指 等量 公理 的 操作 ； 兩 者 都 是 現在 國中 一年級 的 基本 代數 操作 。 按照 蘇聯 老大哥 的 宣傳 ， 花剌子模 是 如今 烏茲別克 境 內 的 基發 （ Khiva ） ， 但 實情 可能 更 曲折 些 。 花剌子模 古國 位在 內陸 大 河 阿姆河 （ Amu Darya ） 注入 鹹海 （ Aral Sea ） 之前 的 河谷 與 三角洲 ， 而 花剌子密 的 故鄉 是 當年 的 都城 ， 位於 土庫曼 的 老 玉龍傑赤 （ Kunya-Urgench ） 。 這 座 古城 捱過 了 成吉思汗 和 帖木兒 的 摧殘 ， 卻 無法 抵抗 阿姆河 改道 的 天命 ， 終 至 人 去 城 空 __UNDEF__ [7] 。 鹹海 曾經 是 世界 第四 大 湖 ， 幾乎 放得下 兩 個 臺灣 ， 但 因為 「 人定勝天 」 的 二十世紀 工程師 引 它 的 源頭 活水 去