， 只 和 太陽 的 角度 有關 。 實驗 中 ， 我們 先 用 掃把 高度 與 掃把 影長 ， 求出 此時 此刻 的 物體 高度 與 影長 的 比值 ： 掃把 高度 ÷ 掃把 影長 。 由於 校舍 高度 與 校舍 影長 的 比值 也 會 一樣 ， 所以 ： 　　 比值 ＝ 掃把 高度 （ A ） ÷ 掃把 影子 長度 （ a ） 　　　　＝ 校舍 高度 （ B ） ÷ 校舍 影子 長度 （ b ） 　　 校舍 高度 ＝ 比值 × 校舍 影子 長度 　　　　　　＝ 掃把 高度 ÷ 掃把 影長 × 校舍 影子 長度 　 　　 利用 比 ， 可 藉由 影子 長度 ， 推估 難以 測量 的 建築物 高度 ， 這 種 「 影子 估算法 」 在 歷史 上 曾經 大顯身手 。 在 科技 不 發達 的 古代 ， 要 怎麼 知道 雄偉 的 埃及 金字塔 到底 有 多 高 ？ 因為 金字塔 是 斜 的 ， 就算 有 再 長 的 繩子 ， 也 無法 直接 測量 ， 當時 許多 專家 都 想 不 出 解決 的 好 辦法 。 不過 古希臘 數學家 泰利斯 很 聰明 ， 利用 影子 與 身高 的 比 來 推理 ， 他 站 在 太陽 下 ， 等到 自己 的 影子 長度 跟 身高 一樣 時 ， 立刻 叫 人 測量 金字塔 的 影子 ， 得到 的 長度 就 是 金字塔 的 高度 。 換句話說 ， 他 是 在 物體 與 影子 的 比值 ＝1 的 那 個 時刻 進行 測量 。 只要 有 一 顆 靈活 的 數學 頭腦 ， 不 需要 複雜 的 工具 ， 你 也 能 盡情 推理 ， 求出 答案 ， 看穿 別人 無法 看到 的 真相 ！ 就算 影子 這麼 高大 ， 我 仍然 只 是 一 隻 小 狗 。 延伸 學習 __UNDEF__ 神祕 的 直角 三角形 　　 當 陽光 照 向 地球 ， 被 物體 擋住 ， 會 在 地面 上 投射出 陰影 ， 由於 地面 是 平 的 ， 物體 和 影子 之間 會 形成 一 個 直角 。 把 影子 末端 和 物體 頂端 相連 ， 會 形成 一 個 直角 三角形 。 由於 陽光 來自 很 遠 的 地方 ， 不論 物體 高 或 低 ， 同 時間 受 陽光 照射 所 形成 的 直角 三角形 都 會 相似 ， 如 下圖 一般 。 也 因此 物體 高度 和 影子 長度 之間 的 比值 才 會 一樣 。 再 多 想想 __UNDEF__ 如果 想 提高 估算 校舍 高度 的 精準度 ， 有 哪些 步驟 是 可以 改良 的 呢 ？ 例如 ， 是否 有 更 適合 測量 的 時機 ？ 或者 能 用 步伐 以外 的 丈量 工具 嗎 ？ 滾來滾去 的 三角形 __UNDEF__ 車輪 才 不 是 只 能 用 圓形 來 設計 呢 ！ 還 有 其他 很 特別 的 形狀 也 可以 滾來滾去 。 打開 你 的 想像力 ， __UNDEF__ 這 個 世界 原來 這麼 有趣 ！ 我們 來 玩 滾來滾去 的 遊戲 ！ 啊 … … 太 瘦滾不動 … … __UNDEF__ 姊 ， 我 贏 了 ， 你 看 我 好 會 滾 … … __UNDEF__ 圓滾滾 __UNDEF__ 那 是 因為 你 長 得 又 圓 又 … … ！ 我 小時候 有 一 段 時期 是 「 問題 兒童 」 ， 不 是 說 我 這 個 人 有 問題 ， 而是 我 很 愛 問 問題 。 記得 有 一 次 在 等 紅綠燈 ， 我 看見 有 人 騎 腳踏車 經過 ， 便 好奇 的 問 ： 「 為什麼 汽車 、 機車 、 腳踏車 的 輪子 都 是 圓形 的 ？ 」 大人 不 假 思索 就 回答 ： 「 因為 圓 的 才 能 滾 啊 。 」 如果 是 現在 的 我 ， 可能 聽 了 解釋 後 就 不再 發問 了 ， 但 當時 的 我 充滿 好奇心 ， 繼續 追問 ： 「 為什麼 圓形 才 能 滾 ？ 」 得到 的 回答 是 ： 「 像 方形 的 就 不能 滾 。 」 嚴格 來 說 ， 這 不 算 正面 回答 。 因為 就算 方形 不能 滾 ， 也 無法 解釋 為什麼 圓形 才 能 滾 。 而且 不只 方形 ， 其他 多邊形 也 無法 順暢 滾動 ， 是 不 是 唯獨 沒有 邊邊角角 的 圓形 ， 才 能 好好 的 滾 呢 ？ 其實 ， 除了 圓形 之外 ， 有 一 種 特別 的 「 勒洛 三角形 」 ， 也 可以 滾動 喔 ！ 這 種 三角形 跟 數學 課本 上 教 的 三角形 不 太 一樣 ， 雖然 它 也 有 三 個 頂點 ， 但 邊長 不 是 直直 的 線 ， 而是 弧狀 的 線 。 更 具體 的 說 ， 想像 一 個 正三角形 ， 把 三 個 頂點 固定 ， 然後 從 三角形 內側 把 三 條 邊 往 外 推出去 一些 ， 三 個 頂點 之間 的 距離 仍然 一樣 長 ， 但 三角形 會 變 得 有點 「 胖 」 ， 這 就 是 勒洛 三角形 大概 的 樣貌 。 仔細 觀察 ， 生活 中 有 些 地方 可以 找到 勒洛 三角形 。 例如 ， 打開 你 的 鉛筆盒 ， 或許 裡面 剛好 就 有 一 枝 鉛筆 ， 從 尾端 往 筆尖 方向 看過去 像是 三角形 ， 可是 放 在 桌 上 又 能 滾動 。 既然 是 能 滾動 的 三角形 ， 那 很 可能 就 是 一 枝 「 勒洛 三角形 鉛筆 」 。 某些 家電 公司 還 特意 把 掃地 機器人 製作成 勒洛 三角形 的 形狀 ， 宣稱 這樣 比起 圓形 掃地 機器人 ， 更 能 清掃到 角落 。 還 有 ， 我們 曾經 提 過 人 孔蓋 大多 是 圓形 ， 因為 它 不 容易 掉進 圓形 的 洞 裡 ， 但 世界 上 有 些 地方 還 採用 了 勒洛 三角形 人 孔蓋 ， 因為 勒洛 三角形 也 一樣 不 容易 掉入 對應 形狀 的 洞 裡 。 不管 是 容易 清掃到 角落 、 不 容易 掉入 洞 中 ， 還是 可以 做為 輪子 滾動 ， 都 是 因為 勒洛 三角形 擁有 某 種 幾何 特性 。 接下來 ， 我們 動手 做 一 個 「 可以 滾動 的 三角形 」 ， 感受 一下 勒洛 三角形 神奇 的 數學 特性 吧 ！ 數學 實驗 1 .
 
在 珍珠板 上 點 一 個 點 ， 當做 圓心 ， 用 圓 規畫 一 條 弧線 ， 半徑 長度 任意 。 2 .
 
在 弧線 上 找 一點 為 圓心 ， 以 相同 半徑 再 畫 第二 條 弧線 ， 讓 弧線 通過 第一 個 圓心 。 3 .
 
用 兩 條 弧線 相交 的 點 為 圓心 ， 畫出 第三 條 弧線 。 4 .
 
以 三 個 圓心 為 頂點 ， 三 條 弧線 為 邊 （ 注意 ： 不 是 直線 ！ ） 就 形成 一 個 「 勒洛 三角形 」 了 。 5 .
 
把 勒洛 三角形 從 珍珠板 上 剪下來 。 重複 步驟 1 至 4 ， 再 做出 第二 片 勒洛 三角形 。 6 .
 
取 三 根 牙籤 ， 穿過 兩 片 勒洛 三角形 珍珠板 的 三 個 頂點 ， 將 兩 片 珍珠板 固定 在一起 ， 然後 像 輪子 一樣 豎 在 桌 上 。 推推 看 ， 這 是 不 是 一 個 能 滾動 的 三角形 「 輪子 」 呢 ？ 看看 滾動 的 軌跡 　　 做完 實驗 ， 感受 了 勒洛 三角形 的 威力 後 ， 讓 我們 先 回頭 思考 一下 ： 為什麼 圓形 可以 滾動 呢 ？ 直邊 的 三角形 輪子 無法 滾動 ， 正方形 輪子 也 無法 滾動 ， 正 六邊形 雖然 同樣 無法 滾動 ， 不過 稍微 用 點力 ， 勉強 能 滾 一 小 段 距離 。 正 八邊形 、 正 十二邊形 ， 用力 推 的話 能 滾 得 更 遠 一些 。 讓 形狀 的 邊 愈來愈 多 ， 直到 變成 圓形 ， 就 能 滾 得 很 順暢 了 。 想想 看 ， 直 邊 三角形 豎起來 翻滾 時 的 狀況 ， 有時 會 兩 個 頂點 一 上 一下 ， 有時 會 頂點 跟 對 邊 一 上 一下 。 兩 個 頂點 之間 的 距離 等於 三角形 的 邊長 ， 頂點 到 對 邊 的 距離 等於 三角形 的 高 ， 邊長 和 高 的 距離 不 一樣 ， 也 就是 滾動 時 上下 的 距離 會 有 變化 。 但 隨著 多邊形 的 邊數 增加 ， 滾動 時 上下 的 距離 變化 會 愈來愈 小 ， 同時 也 愈來愈 容易 「 推動 」 。 你 發現 關鍵 所在 了 嗎 ？ 原來 ： __UNDEF__ 滾動 的 關鍵 是 ， __UNDEF__ 圖形 滾動 時 上下 距離 的 長度 差距 。 以 圓形 來 說 ， 通過 圓心 的 直線 是 直徑 ， 長度 固定 ， 所以 不論 怎麼 滾 ， 上下 距離 都 沒有 差異 ， 也 就 能 很 平順 的 滾動 。 再 看看 勒洛 三角形 ， 是 不 是 跟 圓形 一樣 ， 從 頂點 到 對 邊 的 任意 一點 連線 ， 長度 都 相等 呢 ？ 因為 勒洛 三角形 每 一 邊 的 弧線 ， 都 是 用 相同 圓半徑 畫出來 的 ， 所以 具備 了 圖形 上下 距離 「 固定 」 的 性質 ， 可以 順利 滾動 。 這 個 特性 也 讓 勒洛 三角形 人 孔蓋 和 圓形 的 一樣 ， 不 容易 掉進 洞 裡 。 我們 可 用 兩 條 平行線 夾住 一 個 形狀 ， 然後 旋轉 形狀 。 如果 不管 怎麼 轉 ， 圖形 都 不會 超出 平行線 以外 ， 夾 在 平行線 之間 的 距離 一直 都 是 固定 的 ， 這 個 形狀 就 可以 像 輪子 一樣 順利 滾動 ， 而 不 像 正方形 一 翻過去 就 躺 在 原地 不 動 了 。 最後 ， 你 能 想像 除了 三角形 以外 ， 還 有 其他 同樣 胖胖 的 勒洛多 邊形 嗎 ？