「 如果 他 根本 沒有 犯罪 呢 ？ 」 王后 說 ： 「 那 不 是 更 好 嗎 ？ 」 這 情節 就 是 電影 《 關鍵 報告 》 的 創意 來源 。 蛋頭蛋腦 （ Humpty __UNDEF__ Dumpty ） __UNDEF__ 是 一 支 英國 童謠 的 主角 ， 卡洛 和 他 的 插畫 夥伴 賦予 他 一 個 具體 形象 ， 而 這 個 形象 也 進入 了 英 美 流行 文化 ， 常 有 機會 在 雕塑 和 動漫 裡 看到 。 《 鏡 中奇緣 》 利用 這 個 角色 大玩 「 語言 任意性 」 的 遊戲 。 愛麗絲 遇見 他 時 ， 他 搖搖晃晃 地 坐 在 牆頭 （ 這 是 童謠 的 情節 ） ， 兩 人 講 不 到 幾 句 就 開始 鬥嘴 ， 蛋頭 認為 自己 辯贏 了 ， 就 說 ： 「 這 妳 就 榮耀 了 吧 。 」 愛麗絲 說 她 不 懂 他 講 的 榮耀 是 什麼 意思 。 蛋頭 冷笑 一 聲 ， 說 ： 「 妳 當然 不 懂 ， 得 等 我 告訴 妳 。 那 叫 『 被 人 一 句 話 嗆垮 了 』 。 」 愛麗絲 當然 不服 ， 她 說 「 榮耀 」 沒 那 個 意思 。 蛋頭 說 ， 妳 得 搞清楚 是 誰 在 當家 作主 ？ 「 當 　 用 一 個 字 ， 它 就 得 照 我 的 意思 去 當 它 的 意思 ， 不能 多 也 不能 少 。 」 遊戲 數學 __UNDEF__ 卡洛 發明 了 一些 小把戲 ， 有些 傳到 了 今天 。 例如 讀者 大概 聽說 過 一 個 益智 問題 ： 某 位 鄉民 帶 著 一 匹 狼 、 一 頭 羊 和 一 簍 高麗菜 渡河 ， 他 一 次 只 能 帶 一 樣 東西 ， 因此 當 他 在 撐船 過 河 的 時候 ， 必 有 兩 樣 東西 要 留在 岸 上 。 但是 不能 將 狼 和 羊 留下 ， 因為 狼 會 吃 __UNDEF__ 羊 ； 不能 將 羊 和 高麗菜 留下 ， 因為 羊 會 吃 高麗菜 。 請問 要 如何 渡河 ？ 這 是 卡洛 發明 的 。 利用 邏輯 上 的 謬誤 ， 可以 發展 詭論 。 以下 詭論 適合 初學 代數 的 國中生 測試 一下 自己 的 觀念 ： 令 x =1 且 y =1 ， 則 2 ( x2 − y2 ) =0 而且 5 ( x − y ) =0 。 所以 2 ( x2− y2 ) =5 ( x−y ) 。 現在 把 等式 兩 邊 的 x−y 約掉 ， 得到 2 ( x+y ) =5 。 但是 x+y =2 ， 故 得 2 ×2 =5 。 這 是 怎麼 回 事 啊 ？ 以下 這 個 機率 的 詭論 就 不 太 容易 了 。 他 說 ， 如果 一 個 袋子 裡 有 兩 個 用 觸感 無法 分辨 的 球 ， 已 知 每 個 都 是 黑色 或 白色 的 ， 則 它們 必定 是 一 黑 一 白 ， 「 證明 」 如下 。 袋子 裡 的 兩 個 球 ， 二 黑 的 機率 是 1/4 ， 二 白 的 機率 也 是 1/4 ， 一 黑 一 白 的 機率 是 1/2 。 假設 現在 投入 一 個 黑球 ， 則 三 黑 的 機率 是 1/4 、 一 黑 二 白 的 機率 也 是 1/4 、 二 黑 一 白 的 機率 是 1/2 。 現在 ， 從 這 裝有 三 個 球 的 袋子 中 抽出 一 球 ， 它 是 黑色 的 機率 為 （ 「 三 黑 且 抽出 一 黑 」 或 「 一 黑 二 白 且 抽出 一 黑 」 或 「 二 黑 一 白 且 抽出 一 黑 」 ） 的 機率 ， 亦即 __UNDEF__ 。 反過來 ， 如果 從 一 個 裝有 三 個 黑球 或 白球 的 袋子 中 抽取 一 個 黑球 的 機率 是 2/3 ， 那麼 袋子 中 必定 有 兩 個 黑球 和 一 個 白球 。 我們 知道 剛才 投入 的 是 一 個 黑球 ， 所以 ， 還 沒 投入 黑球 之前 的 那 兩 個 球 ， 必定 是 一 黑 一 白 。 故 得 證 。 以上 詭論 出現 在 1893年 出版 的 《 枕頭 問題 集 》 。 初版 的 副標題 是 「 用 在 睡 不 著 的 夜晚 」 （ sleepless nights ） ， 再版 時 改成 正面 的 說法 ： 「 用 在 值得 清醒 的 時刻 」 （ wakeful hours ） 。 說 的 同樣 是 失眠 ， 態度 卻 不同 ， 這 似乎 與 「 屢 戰 屢 敗 」 改成 「 屢敗屢戰 」 有 異曲同工 之 妙 。 以上 詭論 是 《 枕頭 問題 集 》 的 最後 一 題 ！ 或許 他 要 開玩笑 ， 熬夜 太多 終究 有害 健康 ， 連 腦袋 都 糊塗 了 。 數學家 的確 有 反向 應用 機率 的 作法 ， 設法 模擬 一 種 隨機 實驗 取得 機率 的 估計 ， 用來 反推 未知 的 狀況 。 如果 從 一 個 裝有 三 顆 球 （ 每 顆 都 是 黑色 或 白色 ） 的 袋子 中 隨機 抽取 一 球 ， 取出 放回 重複 很多 次 之後 ， 發現 抽到 黑球 的 機率 是 2/3 ， 則 真的 可以 推論 袋子 裡 是 二 黑 一 白 。 問題 是 卡洛 設計 的 第一 個 實驗 已經 丟 了 一 顆 黑球 進去 ， 那 就 不 是 一 個 「 隨機 」 的 事件 了 ， 所以 並 不 適用 於 機率 定理 。 類似 的 情況 也 發生 在 頗 有 名氣 的 蒙特霍爾 問題 （ Monty Hall Problem ） ， 那 是 一 個 綜藝 節目 的 把戲 。 有 三 扇 門 ， 已 知 其中 兩 扇 後面 是 山羊 ， 一 扇 後面 是 轎車 。 如果 來賓 選中 了 轎車 的 門 ， 就 可以 贏得 那 輛 車 ； 主持人 知道 轎車 在 哪 一 扇 門 後 。 遊戲 規則 是 ， 來賓 先 選 一 扇 門 ， 主持人 打開 另外 兩 扇 門 之中 有 山羊 的 那 一 扇 ， 然後 問 來賓 要不要 換 ？ 這 時候 主持人 會 創造出 許多 娛樂 效果 。 如果 引用 學校 裡 的 機率 定理 ， 就 該 相信 換 不 換 都 一樣 ， 都 有 1/3 的 機率 選中 轎車 。 但是 ， 這 個 想法 錯 了 。 關鍵 在於 主持人 不 是 「 隨機 」 打開 一 扇 門 ， 他 是 知道 答案 的 ， 他 故意 打開 一 扇 沒有 轎車 的 門 。 主持人 的 行為 並 不 是 一 個 「 隨機 」 的 事件 ， 機率 定理 從此 失效 了 。 我 有 責任 說完 這 個 話題 。 如果 蒙特霍爾 主持人 也 是 不 知情 地 隨便 打開 一 個 門 ， 而 他 選中 了 一 頭 羊 ， 那麼 根據 機率 定理 ， 來賓 換 或 不 換 門 ， 得獎 的 機率 都 一樣 。 如果 把 討論 的 時間點 設定 在 大家 都 還 沒 選 的 當初 ， 則 來賓 換 或 不 換 ， 得獎 機率 都 是 1/3 。 如果 把 時間 設定 在 主持人 隨機 打開 一 扇 門 而且 看到 是 羊 之後 ， 則 來賓 換 或 不 換 ， 得獎 機率 都 是 1/2 。 但是 ， 在 蒙特霍爾 的 遊戲 規則 之下 ， 來賓 若 不 換 ， 則 維持 他 原來 的 1/3 得獎 機率 。 可是 ， 如果 他 換 ， 則 若 他 原來 選錯 了 （ 機率 是 2/3 ） 就 會 變成 得獎 ； 若 他 原來 選對 了 （ 機率 是 1/3 ） 就 會 變成 羊 。 可見 「 不 換 」 的 得獎 機率 是 1/3 ， 而 「 換 」 的 得獎 機率 是 2/3 ， 理性 的 選擇 應該 要 「 換 」 。 討論 隨機 實驗 的 時間點 ， 的確 是 有 差別 的 。 數學 老師 能夠 證明 ： 抽籤 的 順序 不 影響 得獎 機率 。 但 這 個 定理 是 針對 大家 都 還 沒 抽 的 時候 說 的 。 譬如 全 班 30 位 同學 抽 30 支 籤 ， 其中 只有 一 支 得獎 ， 為 了 維護 秩序 總得 有 人 先 抽 有 人 後 抽 。 萬一 第一 位 抽籤 者 打開 一 看 就 得獎 ， 顯然 這 個 遊戲 就 可以 結束 了 。 在 這 種 「 條件 機 __UNDEF__ 率 」 的 情境 下 ， 我們 實在 難以 說服 同學 們 不要 在意 抽籤 的 順序 。 對付 這 種 心理 上 的 窘境 ， 只要 規定 按 順序 抽籤 （ 最後 一 位 同學 雖然 沒 選擇 ， 但 也 「 抽 」 了 ） ， 抽 了 之後 一律 不許 打開 ， 把 籤 捏 在 手 中 求 天主 拜 媽祖 都 可以 ， 必須 等到 老師 一聲令下 全 班 一起 開 ， 就 能 感受 「 抽籤 順序 不 影響 得獎 機率 」 的 數學 定理 了 。 文字 遊戲 __UNDEF__ 卡洛 除了 擅長 做 荒唐詩 和 藏頭詩 以外 ， 還 做 過 一些 「 對稱詩 」 ， 例如 ： I of ten wondered when I cursed, Often feared where I would be Wondered where she ’d yield her love , __UNDEF__ When I yield , so will she. I would her will be pitied! __UNDEF__ Cursed be love! She pitied me... __UNDEF__ 這 首 詩 有 六 列 ， 每 列 六 個 字 。 如果 忽略 標點符號 ， 將 詩 中 的 三十 __UNDEF__ 六 個 字 整齊 排列出來 ， 就 會 發現 它 是