了 。 5 .
 
把 勒洛 三角形 從 珍珠板 上 剪下來 。 重複 步驟 1 至 4 ， 再 做出 第二 片 勒洛 三角形 。 6 .
 
取 三 根 牙籤 ， 穿過 兩 片 勒洛 三角形 珍珠板 的 三 個 頂點 ， 將 兩 片 珍珠板 固定 在一起 ， 然後 像 輪子 一樣 豎 在 桌 上 。 推推 看 ， 這 是 不 是 一 個 能 滾動 的 三角形 「 輪子 」 呢 ？ 看看 滾動 的 軌跡 　　 做完 實驗 ， 感受 了 勒洛 三角形 的 威力 後 ， 讓 我們 先 回頭 思考 一下 ： 為什麼 圓形 可以 滾動 呢 ？ 直邊 的 三角形 輪子 無法 滾動 ， 正方形 輪子 也 無法 滾動 ， 正 六邊形 雖然 同樣 無法 滾動 ， 不過 稍微 用 點力 ， 勉強 能 滾 一 小 段 距離 。 正 八邊形 、 正 十二邊形 ， 用力 推 的話 能 滾 得 更 遠 一些 。 讓 形狀 的 邊 愈來愈 多 ， 直到 變成 圓形 ， 就 能 滾 得 很 順暢 了 。 想想 看 ， 直 邊 三角形 豎起來 翻滾 時 的 狀況 ， 有時 會 兩 個 頂點 一 上 一下 ， 有時 會 頂點 跟 對 邊 一 上 一下 。 兩 個 頂點 之間 的 距離 等於 三角形 的 邊長 ， 頂點 到 對 邊 的 距離 等於 三角形 的 高 ， 邊長 和 高 的 距離 不 一樣 ， 也 就是 滾動 時 上下 的 距離 會 有 變化 。 但 隨著 多邊形 的 邊數 增加 ， 滾動 時 上下 的 距離 變化 會 愈來愈 小 ， 同時 也 愈來愈 容易 「 推動 」 。 你 發現 關鍵 所在 了 嗎 ？ 原來 ： __UNDEF__ 滾動 的 關鍵 是 ， __UNDEF__ 圖形 滾動 時 上下 距離 的 長度 差距 。 以 圓形 來 說 ， 通過 圓心 的 直線 是 直徑 ， 長度 固定 ， 所以 不論 怎麼 滾 ， 上下 距離 都 沒有 差異 ， 也 就 能 很 平順 的 滾動 。 再 看看 勒洛 三角形 ， 是 不 是 跟 圓形 一樣 ， 從 頂點 到 對 邊 的 任意 一點 連線 ， 長度 都 相等 呢 ？ 因為 勒洛 三角形 每 一 邊 的 弧線 ， 都 是 用 相同 圓半徑 畫出來 的 ， 所以 具備 了 圖形 上下 距離 「 固定 」 的 性質 ， 可以 順利 滾動 。 這 個 特性 也 讓 勒洛 三角形 人 孔蓋 和 圓形 的 一樣 ， 不 容易 掉進 洞 裡 。 我們 可 用 兩 條 平行線 夾住 一 個 形狀 ， 然後 旋轉 形狀 。 如果 不管 怎麼 轉 ， 圖形 都 不會 超出 平行線 以外 ， 夾 在 平行線 之間 的 距離 一直 都 是 固定 的 ， 這 個 形狀 就 可以 像 輪子 一樣 順利 滾動 ， 而 不 像 正方形 一 翻過去 就 躺 在 原地 不 動 了 。 最後 ， 你 能 想像 除了 三角形 以外 ， 還 有 其他 同樣 胖胖 的 勒洛多 邊形 嗎 ？ 你 可以 用 同樣 的 方法 先 畫 一 個 正 五邊形 ， 選任 一 個 頂點 為 圓心 ， 以 此 頂點 到 對面 頂點 的 距離 為 半徑 ， 重複畫 五 個 弧 ， 就 能 畫出 勒洛 五邊形 。 依 此 類推 ， 也 能 畫出 勒洛 七邊形 。 有 些 國家 的 硬幣 正 是 勒洛 七邊形 ， 也 有 勒洛 十一邊形 ， 將來 有 機會 出國 玩 時 ， 如果 拿到 一 枚 不 是 圓形 、 又 像 圓形 的 硬幣 ， 仔細 觀察 一下 ， 說不定 它 就 是 一 枚 充滿 數學 知識 的 勒洛 硬幣 唷 ！ 滾 一 個 ！ 這 次 要 用 勒洛 三角形 滾 法 喔 ！ 延伸 學習 __UNDEF__ 尋找 勒洛 　　 為什麼 叫做 「 勒洛 」 三角形 呢 ？ 這 是 19世紀 德國 工程師 勒洛 （ Franz Reuleaux ） 的 名字 ， 但 並 不 是 因為 他 發明 了 勒洛 三角形 ， 而是 因為 他 最早 把 這 種 形狀 運用 在 工業 設計 中 。 但是 ， 其實 早 在 中世紀 末期 的 哥德式 教堂 上 就 找 得 到 勒洛 三角形 ， 達文西 繪製 的 世界 地圖 也 運用 了 這 種 形狀 。 現代 建築 裡 ， 也 看 得 到 這 種 三角形 的 蹤跡 。 再 多 想想 __UNDEF__ 我們 從 勒洛 三角形 延伸到 勒洛 五邊形 、 七邊形 ， 除了 增加 形狀 的 邊數 ， 你 還 能 想到 其他 的 勒洛 形狀 嗎 ？ 會不會 有 像 球 一樣 的 「 勒洛 立體 」 呢 ？ 數   感 小棧 __UNDEF__ 獨立 思考 __UNDEF__ 玩 數學 __UNDEF__ 像 海綿 一樣 吸收 新知 ， 是 一 件 很 愉悅 也 很 重要 的 事 。 但 一 個 人 在 黑暗 中 慢慢 前進 、 不 靠 別人 、 自己 走到 終點 ， 也 是 非常 快樂 的 一 件 事 。 這麼 說 好像 有點 拿 小時候 的 事情 來 炫耀 的 意味 ─ 我國 小時 是 資優班 的 學生 。 每 週 有 那麼 幾 堂 課 ， 我 會 離開 原本 的 班級 去 資優班 上課 。 我們 會 去 故宮 上 歷史課 ， 去 野外 上 自然課 ， 看 金庸 小說 討論 文學 ， 聽 許多 好聽 ， 或 不 小心 會 讓 人 閉上 眼睛 的 演講 。 到 高中 畢業 ， 我 在 教室 裡 待 了 12 年 ， 儘管 資優班 在 整個 過程 中 只 占 了 小小 的 一 部分 ， 但 要 我 回想 有 哪些 印象深刻 的 片段 ， 許多 都 是 在 資優班 課堂 裡 發生 的 。 「 整 間 教室 都 靜悄悄 ， 沒有 一 個 人 說話 的 數學課 。 」 每 次 有 人 問起 我 學校 數學 對 我 的 影響 ， 是否 有 哪 一 堂 數學課 或 數學 老師 影響 我 很 深 ， 我 都 會 像 上面 那樣 回答 。 那 是 資優班 的 數學課 。 沒有 老師 的 數學 課 　　 讓 我 帶 各位 回到 那樣 的 數學課 。 畢竟 時光 已經 久遠 ， 我 不 保證 所有 的 細節 都 正確 ， 以下 是 大約 八分 真實 、 兩 分 想像 的 場景 ： 請 想像 你 在 一 間 約莫 有 一般 教室 二 至 三 倍 大 的 場地 ， 教室 裡 十來 個 學生 像 滾落 的 彈珠 ， 散落 在 教室 的 不同 角落 ， 彼此 保持 一定 的 距離 。 每 個 人 都 低頭 不 語 ， 盯 著 眼前 的 題目 紙 。 紙 上 短短 的 寫 了 幾 行 題目 ， 有 些 附上 示意圖 ， 看起來 稍微 活潑 些 。 再 仔細 一 看 ， 都 是 益智 書籍 裡 的 數學 難題 ， 或是 老師 不 知道 用 什麼 標準 ， 評斷出 「 他們 應該 會 吧 」 的 跨齡 數學 題目 。 而 我們 ， 從 空間 安排 上 就 可以 看出來 ， 要 獨力 完成 這樣 的 難題 。 當時 父親 也 買 了 許多 數學書 給 我 ， 所以 類似 的 益智 數學題 不 是 沒 看 過 ， 只是 在 家 裡 閱讀 時 ， 就 像 大多數 人 看 推理 小說 一樣 ， 看完 題目 就 翻下 一 頁 ， 從來 不 曾 認真 思考 、 推理 。 所以 第一 次 拿到 老師 給 的 題目卷 ， 走回 自己 遙遠 的 座位 時 ， 我 心 裡 的 想法 是 ： 　　 「 這 是 在 開玩笑 的 吧 ！ 」 「 應該 等等 就 可以 看到 解答 了 吧 ！ 」 「 不會 可以 說 不會 吧 ！ 」 一 小時 、 兩 小時 、 三 小時 ， 一直 到 了 下課 我 都 沒 解出來 ， 連 嘗試 都 不 想 。 幾 天 後 再 上 數學課 ， 老師 遞給 我 一模一樣 的 題目卷 ， 右上角 還 有 我 在 窮極 無聊 之下 畫出 的 插畫 （ 附帶 說明 ， 我 就 是 在 幾 天 前 寫 題目卷 時 ， 意識到 自己 不可能 成為 藝術家 的 ） 。 我 拿 著 有點 皺 的 題目卷 回到 位子 ， 繼續 思考 ： 　　 「 老師 什麼 時候 才 會 結束 這 個 玩笑 ？ 」 「 反正 我 不會 就 是 不會 ， 早晚 會 有 解答 的 。 」 類似 的 雜念 持續 冒出來 。 然後 來到 第三 次 的 數學課 ， 我 再度 看見 自己 的 插畫 。 這 時候 ， 連 雜念 都 覺得 無聊 了 ， 陸續 離開 我 的 腦海 。 我 這 才 真的 靜下心 來 ， 好好 的 讀 題目 ， 試 著 抽絲剝繭 ， 運用 數學 來 獲得 答案 。 你 絕對 沒辦法 想像 ， 在 這 種 情況 下 解出 題目 是 多麼 開心 的 一 件 事 。 原本 以為 絕對 不可能 會 的 題目 ， 在 嘗試 各 種 角度 的 攻略 後 ， 終於 找到 突破點 ， 一路 推理出 答案 。 我 雀躍 的 帶 著 答案 去 找 老師 ， 老師 聽完 我 的 解釋 ， 確定 我 理解 題目 後 ， 笑吟吟 的 從 厚重 的 資料夾 中 抽出 下 一 張 題目卷 。 「 還 來 啊 … … 」 　　 「 這 真的 是 在 開玩笑 吧 ！ 」 「 這 次 一定 不行 了 。 」 我 內心 又 浮現 一 堆 嘀咕 ， 不過 這 次 比 前 一 回 快 沉澱 下來 ， 專心 思考 數學 。 然後 ， 我 漸漸 習慣 這樣 的 數學課 ， 習慣 問 問題 的 對象 不 是 老師 而是 自己 ， 問 自己 不 懂 是 哪裡 不 懂 ， 哪裡 不 懂 該 去 哪裡 找 線索 推敲 答案 ， 找出 這 個 地方 的 答案 之後 ，